4.4 Le schéma de transport : Evolution vers le semi-Lagrangien


4.4.1 Présentation des schémas Eulérien et Semi-Lagrangien

Les équations pronostiques intervenant dans les modèles de prévision peuvent s'écrire formellement :


où S( X ) représente l'ensemble des sources de la variable pronostique X, et l'opérateur d /dt représente la dérivée particulaire.
Dans les schémas eulériens ( ARPEGE actuel ) l'évolution des variables pronostiques est traitée en chaque point de grille n en exprimant la dérivée particulaire sous forme de la tendance locale et d'advection soit schématiquement :

On voit donc que la résolution des équations au point n ne nécessite la connaissance des divers champs qu'au point n : le schéma est purement local.

Au contraire, dans les schémas semi-Lagrangiens l'évolution des variables pronostiques est traitée de manière globale en conservant la forme particulaire des équations :

4.4.2 Avantages du schéma semi-Lagrangien

Le schéma eulérien est instable lorsque le pas de temps est trop grand pour une grille donnée. La condition d'instabilité du schéma semi-implicite semi-Lagrangien est beaucoup moins contraignante que celle du semi-implicite Eulérien, le pas de temps limite est imposé par la variation spatiale du vent:

En pratique, ceci permet d'utiliser des pas de temps 4 à 5 fois plus longs qu'en Eulérien semi-implicite, réalisant du même coup une économie substantielle en temps de calcul.

4.4.2.1 Principe

On voit que pour mettre en oeuvre le schéma semi-Lagrangien, il faut connaître l'emplacement des points O et M et la valeur de divers champs en ces points. La recherche des points O et M s'effectue par un algorithme itératif en supposant une forme déterminée pour les trajectoires des particules ( segments de droite en géométrie cartésienne et arcs de grand cercle en géométrie sphérique ). Une fois connu l'emplacement des points O et M, les champs nécessaires aux calculs d'évolution y sont interpolés à partir des valeurs sur la grille du modèle.

4.4.2.2 Perspectives

L'utilisation de schémas semi-implicite et semi-Lagrangien est un artifice permettant d'obtenir des résultats aussi précis qu'avec la méthode "naturelle" Eulérienne explicite, mais à moindre coût. On peut dans le même cadre, pousser encore un peu plus loin dans cette voie de l'économie sans dégradation. D'une part en remarquant que pour le schéma semi-Lagrangien, la grille associée à une troncature donnée peut être plus grossière que son analogue pour le schéma Eulérien. Ceci provient du fait que le schéma semi-Lagrangien ne contient pas de termes fortement non-linéaires du type des termes d'advection dans le schéma Eulérien. Des études ont montré qu'une grille contenant moitié moins de points ne dégradait pas les résultats des prévisions. Une autre technique permet un gain équivalent en temps de calcul : elle consiste à remplacer le schéma actuel "saute-mouton" à trois niveaux temporels par un schéma ne mettant en jeu que deux niveaux temporels. Le pas de temps peut alors être allongé dans un facteur 2 pour une même stabilité et une précision comparable. Ces deux techniques cumulées permettent donc d'espérer une réduction du coût du modèle par rapport à la version actuelle.


4.5 La diffusion horizontale


La diffusion horizontale est introduite pour représenter les échanges turbulents sur l'horizontale mais aussi pour éliminer le bruit de petite échelle.
Il est relativement simple de traiter cette diffusion de façon implicite dans l'espace spectral : c'est pourquoi ce phénomène météorologique est traité dans les calculs spectraux et non dans les calculs dynamiques point de grille, ni dans les paramétrisations physiques.
Par ailleurs, la question de savoir si la diffusion horizontale doit être considérée comme un phénomène relevant de la dynamique ou des paramétrisations physiques, n'a pas de réponse claire et définitive à ce jour.
A noter que la diffusion horizontale a un caractère global, contrairement aux paramétrisations physiques qui sont locales ( donc affectées à une verticale ).

L'effet de la diffusion est de réduire l'amplitude des coefficients spectraux par un facteur qui croît avec le nombre d'onde total n. Ceci permet d'éviter l'accumulation d'énergie dans les petites échelles et de représenter approximativement l'effet de la cascade d'énergie vers les nombres d'ondes non inclus dans la troncature.

Le schéma en est une diffusion horizontale purement numérique destinée à empêcher l'accumulation d'énergie vers la queue du spectre. Elle agit fortement dans la zone de contraction et sous-estime nettement la vraie diffusion dans la zone de dilatation

Le schéma en est censé représenter la vraie diffusion horizontale qui existe dans la nature, qui elle est d'intensité comparable sur l'ensemble de la terre. Elle est indispensable en présence d'étirement sinon on a des champs trop bruités ( surtout sur le relief en cas de vents forts ) dans la zone de dilatation.

Depuis le 1er août 1994, ces deux schémas de diffusion horizontale dans le modèle opérationnel sont traités simultanément par un schéma unifié avec r1 = 6, r2 = 3.142857, g1 et g2 sont des fonctions de la coordonnée hybride qui croissent avec l'altitude ( g1 = g2 ). On met notamment nettement plus de diffusion horizontale dans la stratosphère où il est démontré que les champs sont beaucoup plus lissés. Cela permet en outre d'éviter la réflexion d'ondes au sommet du modèle.
On diffuse la divergence, le tourbillon, T- alphalogps où alpha est un coefficient déterminé de façon à minimiser la sensibilité au relief de T- alphalogps et l'humidité. On met 9 fois plus de diffusion horizontale sur la divergence que sur les autres variables. On ne diffuse pas logps.

4.6 Le "frein"


Le pas de temps a été choisi de façon à optimiser temps de calcul et résolution du modèle. Parfois, malheureusement, la condition de stabilité n'est plus vérifiée et le modèle explose.

Plutôt que de diminuer la résolution ou le pas de temps pour éviter les quelques cas d'explosion, on a choisi d'introduire un filtre, véritable "frein" qui agit chaque fois que la stabilité du modèle devient critique. Il s'agit d'un schéma de diffusion horizontale spécifique, qui est activé uniquement quand le critère de stabilité atteint ou dépasse un certain seuil ( 0,9 en opérationnel ).

Pour cela, à chaque pas de temps, on évalue le critère de stabilité à chaque niveau et pour chaque nombre d'onde. S'il dépasse le seuil critique, le frein est alors activé pour tous les nombres d'onde supérieurs: il intervient donc surtout sur les petites longueurs d'ondes, ce qui revient à abaisser temporairement la troncature du modèle.

Cette diffusion agit dans l'espace spectral et revient à multiplier certains coefficients spectraux ( tourbillon, divergence, variables thermodynamiques ) par un terme du type:

Ainsi, plus le critère de stabilité devient grand, plus son action est importante sur les coefficients spectraux.

A noter que la dissymétrie entre hémisphère dilaté et hémisphère contracté, liée aux schémas de diffusion horizontale et déjà abordée au paragraphe 4.5, est ici suffisamment faible ( schéma de diffusion horizontale à l'ordre 1 de dérivée ) pour pouvoir se passer d'un schéma de diffusion supplémentaire.

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