L'atmosphère est découpée verticalement en L couches, définies par les pressions à leurs interfaces qui sont calculées par :
4.2.1 La coordonnée hybride éta
Cette coordonnée hybride permet de cumuler les avantages de la coordonnée sigma pour les niveaux inférieurs du modèle ( écriture très simple de la condition à la limite inférieure de l'atmosphère ) et ceux de la coordonnée pression pour les niveaux supérieurs ( possibilité de traiter plusieurs niveaux stratosphériques ce qui est très important pour les modèles de circulation générale qui traitent explicitement cette partie de l'atmosphère et éviter les extrapolations douteuses dans le calcul de la force de pression ).
Détermination analytique de A et de B
Sachant qu'au sommet de l'atmosphère on doit avoir une
coordonnée pression on a B( 0 ) = 0 et
A( 0 ) = 0, et qu'à la base on doit avoir une
coordonnée sigma, on a B( 1 ) = 1 et A( 1 ) = 0.
Ces deux fonctions sont des cubiques dont on détermine les caractéristiques avec le nombre de niveaux où la coordonnée éta est une coordonnée pression pure, la pression associée, le nombre de niveaux où éta est une coordonnée sigma, etc....
Ces fonctions doivent permettre de décrire de façon suffisamment détaillée la couche limite atmosphérique qui sera composée de plusieurs couches et d'éviter de trop faibles valeurs d'épaisseurs de couches pour des pressions de surface basses ( c'est-à-dire sur le relief ) de façon à ne pas entraîner des instabilités linéaires dans le traitement des advections verticales.
Les fonctions A et B ont les formes suivantes :
4.2.2 La discrétisation verticale
Cette expression permet d'obtenir une valeur de p même si p = 0 car p.log p tend vers 0 quand p tend vers 0.
A noter que ce niveau pl est voisin du milieu de la couche.
Les variables dynamiques du modèle ( T, u, v ... ) sont calculées aux niveaux pl du modèle alors que les flux ( partie physique ) sont calculés sur les surfaces intercouches, ce qui permet d'intégrer les conditions aux limites. Attention : le niveau inférieur du modèle n'est pas le sol.
La répartition des variables est présentée sur la figure suivante.
Le modèle ARPEGE actuel possède L = 24 niveaux ( 25 intercouches ).
Les dérivées verticales sont calculées par la méthode des différences finies.
On décrit ici le schéma temporel indépendamment de la formulation de l'advection.
Les équations d'évolution du modèle s'écrivent
symboliquement :
X étant le vecteur d'état de l'atmosphère,
D la partie dynamique des équations et P la partie physique.
Quelques généralités
L'étude des modèles en équations primitives linéarisées met en évidence deux types d'ondes : les modes normaux.Moyennant le choix d'une linéarisation de D, on peut définir l'opérateur linéaire A qui sera supposé décrire les ondes rapides contenues dans les équations d'évolution. En fait, la définition d'un état de base permet d'isoler dans l'opérateur A les termes dits d'adaptation responsables des ondes de gravité.
Par ailleurs, il faut savoir que le pas de temps maximal d'un modèle Eulérien ne peut pas être choisi de façon aléatoire ( indépendamment de la maille et de la vitesse de propagation ), il doit remplir des conditions de stabilité, fonction du type de schéma temporel et en général de la partie horizontale de la grille. On est donc amené à choisir un pas de temps, non pas pour obtenir une précision donnée dans l'évaluation de la dérivée temporelle mais pour assurer la stabilité du calcul.
Le schéma d'extrapolation temporelle dit explicite centré ( Leap-frog ) s'écrit :
A noter que le schéma temporel est centré pour les termes dynamiques mais décentré pour les termes physiques, ceci uniquement pour des raisons de stabilité numérique.
où C est la vitesse de phase des ondes les plus rapides, de l'ordre de la vitesse du son.
On pourra donc traiter les termes responsables d'ondes lentes avec ce schéma mais pour les ondes de gravité, on utilisera un schéma implicite centré, qui est inconditionnellement stable.On utilisera par conséquent un mélange de ces deux schémas d'où le nom de semi-implicite : on traitera les termes responsables d'ondes lentes en explicite et les termes responsables d'ondes de gravité en implicite.
Les équations d'évolution s'écriront:
La résolution d'un tel système est plus
compliquée ( inversion de la matrice 
) mais en dépit de
l'augmentation du temps de calcul dû à cette méthode, la
possibilité de prendre un pas de temps plus grand se
révèle nettement payante. En effet, la condition de
stabilité à respecter est beaucoup moins restrictive, elle
permet de remplacer C par V, V : vitesse maximale du vent.
Remarques :
- La condition de stabilité du schéma temporel explique en partie, pourquoi le modèle explose parfois en cas de tempête. En général, lorsque le modèle explose, c'est que quelque part le critère de stabilité ( CFL ) n'est pas respecté, souvent en présence d'un très fort jet d'altitude.
- Pour limiter le risque d'explosion du modèle, un "frein" a été ajouté ( cf paragraphe 4.6 ).
- Le recours à un schéma semi-implicite permet de gagner un facteur 4 sur le pas de temps maximal.
- Pour une maille de l'ordre de 30 Km, les schémas eulériens sont limités en raison de la condition de stabilité à environ 200 secondes de pas de temps.
Le filtre temporel
Un filtre temporel est utilisé pour éliminer les oscillations temporelles propres aux schémas de type Leap-frog.
Le schéma décrit au-dessus est valable à partir de la deuxième avance temporelle; pour la première on fait une avance latérale ( décentrée ) qui donne une évaluation de la dérivée temporelle un peu moins précise qu'un schéma Leapfrog.
La résolution variable introduit quelques complications dans le schéma temporel. Le facteur d'échelle m est introduit dans une matrice intervenant dans l'équation de la divergence. Pour résoudre cette équation il faut inverser cette matrice plus complexe.
Actuellement dans ARPEGE, le pas de temps est de l'ordre de 981 secondes.
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