Les équations de base régissant l'atmosphère en rotation, supposée isolée, sans échange avec l'extérieur sont ( les mêmes que celles d'EMERAUDE ):
- l'équation du mouvement ( conservation du moment angulaire )
- l'équation de continuité ( conservation de la masse )
- l'équation de la thermodynamique ( conservation de l'énergie totale ).
On ajoute une équation de conservation pour l'humidité spécifique afin de traiter la vapeur d'eau atmosphérique. Et, pour que le système soit fermé, il faut également ajouter l'équation d'état de l'air qui lie la pression, la masse volumique et la température. On considère que l'air est un mélange d'air sec, d'eau en phase gazeuse, liquide et solide et que l'air sec et la vapeur d'eau sont des gaz parfaits.
Les équations de base sont simplifiées après analyse de l'ordre de grandeur des divers termes des équations, compte tenu des échelles que l'on désire traiter lors de la modélisation. La prévision météorologique s'intéresse aux échelles horizontales allant de 10 à 10000 Km ( ondes de méso-échelle, d'échelle synoptique et planétaire ) qui correspondent à des échelles temporelles de quelques heures à plusieurs jours.
1- On fait l'approximation de la pellicule sphérique mince, ce qui permet de remplacer z+Rt par Rt ( z = altitude, Rt = rayon terrestre ); les verticales sont alors considérées comme parallèles.
2- On néglige les termes impliquant la composante verticale de l'accélération de Coriolis dans l'équation du mouvement.
3- On suppose que la vitesse verticale est d'un ordre de grandeur inférieur à celui de la vitesse horizontale; on peut alors négliger l'accélération de la vitesse verticale devant celle de la vitesse horizontale, ce qui amène à la relation de l'hydrostatique.
| L'approximation hydrostatique rend la vitesse verticale diagnostique : elle évolue ( dans un certain sens ) "lentement". Ceci limite la qualité de la prévision chaque fois que la vitesse verticale, dans la nature, s'adapte très vite. Ceci se produit en présence de convection mais même de condensation intense. Prudence donc, lorsque w est grand, par exemple dans les orages. |
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On obtient alors le système d'équations primitives reliant les quantités u, v, w, p, rho, T, q
- L'équation vectorielle du mouvement :
Sur l'horizontale :
Sur la verticale : équation de l'hydrostatique d'après les approximations
- L'équation de la Thermodynamique :
Cette équation exprime qu'au cours du mouvement d'une particule atmosphérique la somme de la chaleur et du travail reçus par cette particule sert à augmenter son énergie interne.
- L'équation de l'humidité spécifique :
L'apparition et la disparition de vapeur d'eau sont paramétrées par un processus physique.
- L'équation d'état des gaz parfaits :
- L'équation de continuité :
Remarque sur le cycle hydrologique :
Actuellement dans ARPEGE on considère que la masse de l'air atmosphérique reste constante ( il n'y a pas de terme source dans l'équation de continuité ) c'est-à-dire que lorsqu'une masse d'eau précipite dans le sol, un processus fictif de substitution se produit pour conserver la masse de l'atmosphère, cette masse d'eau est remplacée par une masse d'air sec équivalent; le processus inverse se produit également quand de la vapeur d'eau est fournie à l'atmosphère par évaporation à la surface de la terre.
Dans le futur, on intégrera le déficit de masse dû aux précipitations, autrement dit la colonne d'air subira une perte. La prise en compte de cette perte de masse se traduira au niveau de l'équation de continuité par l'adjonction d'un terme de source de masse soit :
Fp : flux de masse par unité de surface et par unité de temps.
Avec la coordonnée verticale éta définie au paragraphe 4.2.1 ( éta varie de 0 à 1 du sommet à la base de l'atmosphère ), on obtient une équation de tendance de la pression sol qui prend la forme suivante :
Fp : flux de masse dû aux précipitations et à l'évaporation,
Fp( 1 ) : flux de précipitation atteignant le sol,
E : flux d'évaporation à la surface inférieure de l'atmosphère.
Signification des symboles :
Si on ne prend pas en compte ces termes ainsi que Fp et E, on a les équations décrivant une atmosphère adiabatique sans frottement et sans apport de masse ( un système isolé ). Leur résolution constitue la partie dynamique du modèle, cette partie est prépondérante à nos latitudes et pour la courte échéance.
La détermination de ces quantités constitue la partie physique du modèle. Les phénomènes considérés font intervenir des éléments qui interagissent à une échelle inférieure aux échelles considérées par le modèle et ne vont pas pouvoir être pris en compte individuellement de façon déterministe. On va chercher à calculer l'effet moyen au sens statistique de ces processus physiques ( transformations irréversibles ) matérialisés par la connaissance de vecteur Fh, Q, Q', Fp et E. On paramétrera l'effet de ces processus physiques comme le rayonnement, les échanges sol/atmosphère, le cycle hydrologique, la convection, les effets de la turbulence.
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